Dass i * i = -1 (die imaginäre Zahl) definiert ist und dazu allgemein sqrt(a * b) = sqrt(a) * sqrt(b) (sqrt ist die squarroute, die Quadratwurzel) wurde schon gesagt.
Die Angelegenheit ist weniger kompliziert, als es den Anschein hat, zumindest, solange man sich noch bei einfacher Algebra bewegt.
Man sollte i nicht mit einem dritten Vorzeichen verwechseln, aber die Richtung stimmt ungefähr.
Irgendwann begannen die Menschen zu zählen und erfanden damit die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4... , die Menge N. Als erste Rechenoperation war dann die Addition dran, die sich innerhalb der natürlichen Zahlen auch vollständig ausführen lässt: a + b = c funktioniert immer für a,b als natürliche Zahlen.
Dann kamen die Schlaumeier daher und sagten:
1. Wenn ich schon was rechne, dann sollte ich auch das Gegenteil rechnen können: Somit erfanden sie aus der Addition die Subtraktion. Und wie es der Teufel will: die natürlichen Zahlen reichten nicht mehr. Also wurde der Zahlenkörper auf die ganzen Zahlen erweitert, die Menge Z.
2. Ja, und wenn ich schon was rechne, dann sollte ich es auch verallgemeinern: Somit erfanden die Schülerquäler die Multiplikation als x + x + x + x = 4 * x etc. Funktioniert noch gut in Z.
Dann kann man das Spielchen wiederholen:
1. Kehre ich die Multiplikation um, dann bekomme ich die Division und damit auch die Menge Q, jene Zahlenwelt, die sich durch Brüche darstellen lässt. Indes: die erste Lücke tut sich auf, denn x / 0 = ?? Also definierte man, dass die Division durch 0 undefiniert sei, manchmal auch unendlich, wie man es gerade braucht.
2. Verallgemeinere ich indes die Multiplikation, so komme ich auf x * x = x^2, x*x*x = x^3. Auch das funktioniert innerhalb der Menge Q recht gut.
Nun geht es abermals weiter. Die Verallgemeinerung der Potenzierung ist nur wieder eine Potenzierung, führt also nicht weiter.
Kehre ich die Potenzierung um, dann bin ich bei der Wurzel. Ziehe ich nun Quadratwurzeln aus beliebigen positiven Zahlen (man will sich das Leben erstmal nicht schwer machen), dann merkt man, dass ich das Ergebnis nicht als einfacher Bruch darstellen lässt. So, wie die Menge N Löcher hat, hat auch die Menge Q Löcher, wenn auch ziemlich kleine. Die Menge R stopft diese Löcher.
Ziehe ich die Quadratwurzel aus der negativen Zahl, dann... Dann behaupten hier einige Leute, dass dies nicht ginge. Ende der Schulweisheit, oder besser: Ende des Zahlenstrahls. Bis jetzt ließen sich alle Rechenoperationen auf einem Zahlenstrahl ausführen, aber Quadratwurzeln aus negativen Zahlen bringt man da nicht mehr unter. Was also tun?
Wie so oft im Leben muss man seine Sichtweise ändern. Anstatt immer nur nach Osten und Westen zu blicken, wo der Zahlenstrahl verläuft, schaut man nun auch noch nach Norden und Süden. Von der geraden Straße zur flächigen Landkarte, in gewissem Sinne.
Man definiert i, klammert das i vor: sqrt(-a) = sqrt((-1) * a) = sqrt(-1) * sqrt(a) = i * sqrt(a).
Nun nimmt man das orthognoale Koordinatensystem, wie man es seit der 8. Klasse kennt, die Landkarte. Auf der x-Achse (Ost-West) bleibt der Zahlenstrahl mit den reellen Zahlen bestehen, und dort rechnet man sein übliches Zeug rum. Die y-Achse (Nord-Süd) wird nun zu einem zweiten Zahlenstrahl, auf dem man die imaginären Zahlen aufmalt. Die Quadratwurzel aus +4 würde dann bei +2 und -2 weiterhin auf der reellen (x-) Achse aufgetragen werden. Die Quadratwurzel aus -4 aber auf der imaginären (y-) Achse bei +2 und -2. Man braucht also plötzlich die zweite Dimension.
Ebenfalls wie in einem anderen Beitrag geschrieben ergibt die Addition einer reellen mit einer imaginären Zahl eine komplexe Zahl. Man rechne z.B. sqrt(9) + sqrt(-4), dann kriegt man als eine von mehreren Lösungen 3 + 2i. Die Zahl kann dann nur noch als Vektor auf der Ebene dargestellt werden. - Wenn man sich mal von der Idee verabschiedet hat, dass eine Zahl immer ein Punkt auf einer Geraden ist, und man sich damit anfreundet, dass sie auch ein Punkt in der Ebene sein kann, ist das schwierigste erledigt.
Und damit ist auch schon Feierabend. Mit verallgemeinern von Operationen und umkehren derselben gibt es keine "schwierigeren" Zahlenräume mehr. Das hält den Mathematiker aber nicht davon ab, n-dimensionale Räume und Vektoren zu verwenden. Aber das ist eine andere Geschichte.