Frage:
Ich brauche kurz Hilfe zu einer Aufgabe im Bereich der Funktionen!?
Solis
2008-01-10 13:44:12 UTC
Die Aufgabe lautet : Dieskutieren Sie die Funktion f(x) = x^4 - 4x + a hinsichtlich der Anzahl der Nullstellen in Abhangikeit von a ( a gehort R ). Was genau muss ich hier machen?
Vier antworten:
1/i = -i
2008-01-10 14:11:45 UTC
y = Null setzen ... weil Nullstellen halt.



0= x^4 - 4x +a

-a = x^4 - 4x |:x

-a/x = x^3 - 4



-> 4 = x^3 + a/x



das ist die Bedingung die erfüllt sein muss ... wenn du jetzt nach a umstellst, hast du die abhängigkeit von x.



a = - 4x - x^4



Wenn du jetzt die Nullstelle an den Punkt x=1 legen willst, setzt du x=1 ein:



-> a = -5



d.h. für f(x) = x^4 - 4x -5



hat z.b. die Nullstelle x = 1



... das kannst du auch für alle Ableitungen durchspielen.



___



Für die Anzahl der Nullstellen hat das allerdings keine Bedeutung ... *g*



Laut den Fundamentalsatz der Algebra muss die Gleichung 4 Nullstellen (Beweis in der Quelle) aufweisen ... ;)

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@Ford: die reelen Zahlen sind eine Ausnahme der komplexen Zahlen ... und wenn sie richtig rechnet wird sie mitkriegen, das einige Nullstellen (im reelen) doppelt belegt sein werden, sollte man in der Abbildung des Graphen nicht mehr sehen ... auch wenn keine (im reellen) zu sehen sind, sind die da.
anonymous
2008-01-10 14:11:52 UTC
f(x) = 0 bringt dich zunächst nicht weiter. Also berechne mal Hoch- und Tiefpunkte:



f'(x) = 4x^3 - 4

Setze f'(x) = 0



x^3 - 1 = 0

x^3 = 1

x = 1



f(1) = a-3



Du hast also den Tiefpunkt T(1 | a-3) und sonst keine weiteren Extremstellen. Nun überleg dir, wie der Funktionsgraph aussieht (oder plotte ihn):



Es ist eine Parabel 4. Ordnung, geht also für x gegen +-unendlich jeweils gegen unendlich. Da wir nur einen Tiefpunkt haben, können höchstens 2 Nullstellen auftreten. Nämlich genau dann, wenn der Tiefpunkt unterhalb der X-Achse liegt, also eine negative y-Koordinate hat. Das setzen wir ein:



a-3 < 0

a < 3



Also: Für a < 3 gibts 2 Nullstellen.

Es folgt trivialerweise: für a=3 gibts eine (doppelte) Nullstelle, weil der Tiefpunkt genau auf der x-Achse liegt.

Für a > 3 gibts dann logischerweise gar keine Nullstelle, weil sich der Tiefpunkt und damit das gesamte Schaubild der Funktion über der x-Achse befindet.



@Jayman: Der Fundamentalsatz der Algebra gilt nur für Komplexe Zahlen! Bei reellen Zahlen heißt es: Ein Polynom des Grades n mit n>0 hat *höchstens* n Nullstellen.

@Jayman's Antwort: Da hier nach den Nullstellen in Abhängigkeit von a gefragt wird, macht es keinen Sinn, die Funktion in C zu betrachten. Komplexe Nullstellen spielen hier einfach keine Rolle.
Wurzelgnom
2008-01-11 03:03:33 UTC
Nullstellen für

y = f(x) = x^4 - 4x + a

Lösung der Gleichung: x^4 - 4x + a = 0

ist identisch mit der Lösung der Gleichung x^4 = 4x - a



Grafisch bedeutet die Lösung die Schnittstelle der Graphen von

f1(x) = x^4 und f2(x) = 4x - a

Das Bild von f1 ist eine Parabel (vierten Grades),

das Bild von f2 ist eine Gerade mit dem Anstieg 4, die bei - a durch die y-Achse geht.



Diese Gerade kann Sekante, Tangente oder Passante für die Parabel sein.

Tangente ist sie da, wo der Anstieg der Parabel ebenfalls 4 ist.

f(x) = x^4 => f'(x) = 4x^3 f'(1) = 4, also für x= 1 und y=1



Durch P(1;1) verläuft aus der Geradenschar nur die Gerade g mit y = 4x - 3 (also a = 3)



Für a>3 wird die Gerade Passante, es gibt keine Schnittstellen, in der Ausgangsfrage also keine NST

Für a=3 ist die Gerade Tangente, es gibt genau einen gemeinsamen Punkt, also in der Ausgangsfrage genau eine NST

Für a<3 ist die Gerade Sekante, es gibt zwei Schnittstellen, in der Ausgangsfrage also zwei NST
Paiwan
2008-01-11 05:21:00 UTC
Bei der Funktion handelt es sich um eine Funktion 4. Grades. Eine Funktion 4. Grades kann maximal 4 Nullstellen, 3 Extrema und 2 Wendepunkte haben. Der Wert a bestimmt hierbei die Lage der Funktion in der Ebene. Für diese Aufgabe sind die Wendepunkte erst mal nicht von Belang. Wichtig sind hier die Lage der Extremwerte.



Bilde hierzu die 1. Ableitung:



f´(x) = 4x³ - 4



4x³ - 4 = 0 => x³ = 1



Dies bedeutet, dass es sich um ein 3-wertiges Maximum handelt.



für a = 0 liegt der Extremwert bei:



y = 1^3 - 4



y = -3





Was übrig bleibt, ist, anhand der Extremwerte die Eigenschaft von a so zu bestimmen, dass damit eine Aussage über die Nullstellen getroffen werden kann:



es gilt:



für alle a < 3 => 2 reelle Nullstellen

für a = 3 => 1 doppelt reelle Nullstelle

für alle a > 3 => 2 konjugiert komplexe Nullstellen



@Jayman:



f(x) = x^4 - 4x -5 an der Stelle x = 1



f(x) = 1 - 4 - 5 = -8 und nicht 0



Du meintes wohl -1. Aber die Nullstellen sind ja nicht gefragt, sondern nur der Einfluss der Konstanten a auf die Nullstellen.


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Dieser Inhalt wurde ursprünglich auf Y! Answers veröffentlicht, einer Q&A-Website, die 2021 eingestellt wurde.
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