Wenn ich Deine Frage richtig verstehe, so möchtest Du wissen, wie man nachweisen kann, dass die Summe der ersten n Quadratzahlen = 1/6 * n(n+1)(2n+1) ist



Einen solchen Beweis kann man mit Hilfe der vollständigen Induktion führen.



Der Induktionsanfang ist klar:

Für n = 1 gilt

1² = 1/6 * 1(1+1)(2*1+1)

1 = 1 w.A.



Jetzt der Induktionsschritt:

Du musst zeigen, dass aus H(k) immer H(k+1) folgt.

Also wenn sich für beliebiges, aber festes k die Summe der ersten k Quadratzahlen nach der Formel bereechnen lässt, dann muss die Formel auch für k+1 gelten.



Induktionsvoraussetzung:

Die Summe der ersten k Quadratzahlen ist 1/6 * k(k+1)(2k+1)



Induktionsbehauptung:

Dann ist die Summe der ersten k+1 Quadratzahlen

1/6 * (k+1)[(k+1)+1]*[2(k+1) + 1] = 1/6 * (k+1)(k+2)(2k+3)



Induktionsbeweis:

Die Summe der ersten k+1 Quadratzahlen ist:

Summe der ersten k Quadratzahlen + (k+1)², also nach Induktionsvoraussetzung:

1/6 * k(k+1)(2k+1) + (k+1)² =

1/6 * k(k+1)(2k+1) + 1/6 * 6(k+1)² =

1/6 * [k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)] =

1/6 * (k+1) * [k(2k+1) + 6k + 6] =

1/6 * (k+1) * (2k² + k + 6k + 6) =

1/6 * (k+1) * (2k² + 7k + 6) =

1/6 * (k+1) * (2k² + 4k + 3k + 6) =

1/6 * (k+1) * [(k+2)*2k + (k+2)*3]=

1/6 * (k+1) * (k+2) * (2k+3)

q.e.d.

Unter dem Summenzeichen steht: k=1

Der Wert der Laufvariable beginnt somit mit dem Wert 1.



Über dem Summenzeichen steht nur "n". Eigentlich müsste dort "k=n" stehen.

Der Wert der Laufvariable endet mit dem Wert n.



Hier die ensprechenden Aufgaben von n=1 bis n=5:

n=1

1 = 1²



n=2

5 = 1² + 2²



n=3

14 = 1² + 2² + 3²



n=4

30 = 1² + 2² + 3² + 4²



n=5

55 = 1² + 2² + 3² + 4² + 5²



Hier mit der Summenformel: 1/6 * n * (n + 1) * (2n + 1)

1/6 * 5 * (5 + 1) * (2 * 5 + 1) = 1/6 * 5 * 6 * 11 = 5 * 11 = 55





Wenn nun eine Aufgabe lautet: Berechne die Summe der ersten 100 Quadratzahlen.



Benutzt du die Summenformel und setzt für n den Wert auf 100.

1/6 * 100 * (100 + 1) * (2 * 100 + 1) = 1/6 * 100 * 101 * 201 = 50 * 101 * 67 = 338.350

Ich versteh die Frage nicht :)

Solange Du mit einer Variable (n) Arbeitest wirst Du nur ein Ergebnis in Abhängigkeit zu n erhalten, die findest Du ja bereits in Deinem Link. Solche Formeln erhält man durch entsprechendes Umformen.