@Achtung:

Sechs Stunden später Nachtrag - siehe ganz unten *)

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Cool, aber falsch....



Bis hierhin stimmt es:

0 = 3ax² + 6x + 3

Für a ungleich 0 kann man jetzt durch 3a teilen:



0 = x² + 2/a x + 1/a

Und jetzt die p-q-Formel richtig anwenden:

x₁/₂ = - 1/a ∓ √( 1/a² - 1/a), also

x₁/₂ = - 1/a ∓ √(1 - a)/a²]



Genau eine Nullstelle der 1. Ableitung für 1 - a = 0, also a = 1

Zwei NST der 1. Ableitung für 1 - a > 0, also 1 > a

Keine NST der 1. Ableitung für 1 - a < 0, also 1 < a



Fall a= 0 zugelassen ist, erhält man eine quadratische Funktion, die ihre Extremstelle immer im Scheitelpunkt hat.

(Wie Marco bereits richtig festgestellt hat, wofür er von i-einem Hirni einen Daumen runter gekriegt hat. Von mir kriegt er ein positives Däumchen)



Jetzt untersuchen wir die Stellen, an denen die 1. Ableitung verschwindet, genauer:

a = 1

Es ergibt sich die Funktion f mit

y = f(x) = x³ + 3x² + 3x

Eine Funktion 3. Grades kann aber nicht genau eine Extremstelle haben; entweder zwei oder keine.

Was also passiert hier?

y' = f '(x) = 3x² + 6x + 3

f '( - 1) = 3 - 6 + 3 = 0, ABER

f ''(x) = 6x + 6

f ''( - 1) = - 6 + 6 = 0

f ''(x) = 6, also f ''( - 1) = 6 > 0



Hier liegt KEIN Extremum vor, sondern eine horizontale Wendestelle!!!!

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*) Nachtrag:

Erläuterung zur Anwendung der p-q-Formel:

x₁/₂ = - 1/a ∓ √( 1/a² - 1/a)

(Ich nehme an, bis hierhin ist Dir alles klar, ja?)



x₁/₂ = - 1/a ∓ √( 1/a² - a/a²)

(Ich habe den zweiten Bruch mit a erweitert, damit ich Beides auf den gemeinsamen Hauptnenner a² schreiben kann)



x₁/₂ = - 1/a ∓ √[(1 - a)/a²]

x₁/₂ = - 1/a ∓ √(1 - a) / a



(Im Nenner habe ich aus a² die Wurzel gezogen, bleibt im Zähler die Wurzel aus (1 - a)

Die Fallunterscheidung habe ich dann mit dem Term (1 - a) gemacht.)



@Ehrlich gesagt, finde ich die Aufgabe nicht sonderlich schwer. Das liegt aber daran, wie oft man schon ähnliche Aufgaben gelöst hat.

extremstellen gibt es wenn die ableitung an der stelle 0 ergibt:

f'(x)= 3ax² + 6x + 3



die bedingung für eine nullstelle ist also: 3ax² + 6x + 3=0



3ax² + 6 x +3 = 0 |/3a für a≠0

x² + (2/a)*x + 1/a =0



hierauf kannst du die p-q-formel anweden:



x = -(2/a)/2 + √(((2/a)/2)² - 1/a) bzw. statt dem plus ein minus

x= -a + √(1/a² - 1/a)



wenn es keine lösunggeben soll muss innerhalb der wurzel etwas negatives stehen bleiben:

damit das geschieht gelte:

1/a² < 1/a



damit es 2 lösungen gibt glit dann das umgekehrte:

1/a² > 1/a



und damit es nur eine lösung gibt gilt:

a² = 1/a



1/a² = 1/a |*a²

1 = a |√

1 = a und -1=a





da wir den Fall a≠0 betrachtet haben, müssen wir zusätzlich natürlich noch den Fall a=0 betrachten:

0 = 3ax² + 6x + 3 |a=0

0 = 6x + 3 |-3

-3=6x |/6

-0,5=x



(sry hab mich erst vertippt :P )

und für a = 0 hat der graph der funktion auch genau eine extremalstelle