Es muss zwei Lösungen, da der Winkel alpha (zwischen Seite b und c) spitz oder stumpf sein kann.



Sei H der Schnittpunkt der Höhe (hc) mit der Seite c, ferner sie p die Strecke BH und q die Strecke AH. Es glit also c=p+q. Sollte der Winkel alpha stumpf sein, wird q negativ.



CBH und CAH sind rechtwinklige Dreieck, also gilt:



b²=hc²-q²

q²=b² -hc²



q1=+Wurzel(b² -hc²)

q2=-Wurzel(b² -hc²)



c=p+q => p=c-q

p1= c-q1 = c-Wurzel(b² -hc²)

p1= c-q2 = c+Wurzel(b² -hc²)



Um a zu berechnen nochmal Pytagoras:



a²=hc²+p² => a=Wurzel(hc²+p² )



Da die Seite a positiv sein muss, gilt hier nur das Vorzeichen +



Also

a1=Wurzel(hc²+p1² )

a2=Wurzel(hc²+p2² )



Nach [1] gilt für den Umkreisradius R



R=a b c/(4 A)



mit der Dreieckfläche A = hc c/2



Jetzt noch alles einsetzen.



R1=(b Wurzel[hc² + (c - Wurzel[b² - hc²])²])/(2 hc) = 52,68mm

R2=(b Wurzel[hc² + (c + Wurzel[b² - hc²])²])/(2 hc) = 164,39 mm



Nachtrag ". Lösungsvariante:

Aus einen Chat mit Wurzelgnom entstand die Idee für einen weiteren Lösungsweg.

Man legt das Dreieck in ein Koordinatensystem, so dass Seite c auf der X-Achse und der Mittelpunkt von c im Ursprung. Die Y-Achse ist Mittelsenkrechte von c



Die Eckpunkte des Deieck haben dann folgende Koordinaten:

A = (-c/2,0) = (-50,0)

B = (c/2,0) = (50,0)

C1 = (-c/2+q,hc) = (-110.622,35)

C2 = (-c/2-q,hc) =(10.6218,35)



mit q=Wurzel(b²-hc²)



Die Steigung von b ist



mb1=(C1-A)_y/(C1-A)_x =-0.577

mb2=(C1-A)_y/(C2-A)_y = 0.577



_x, _y steht dabei für die x-, bzw, y-Koordinate.



Die Senkrechten dazu haben die Steigungen



mb1s=-1/mb1=1.732

mb2s=-1/mb2=-1.732



Der Mittelpunkt von b hat die Koordinaten



Mb1=(A+C1)/2=(-80.31,17.5)

Mb2=(A+C2)/2=(-19.67,17.5)



Somit sind die Mittelsenktrechten auf B gegeben durch



y-Mb1_y = mbs1 (x-Mb1_x)

y-Mb2_y = mbs2 (x-Mb2_x)



Die Mittelpunkte der Umkreise ergeben sich durch Schnitt der Mittelsenkrechten auf b und c. Wegen der Wahl des Koordinatensystem braucht man nur in der Geradengleichungen der Mittelsenkrechten auf b x=0 setzen und erhält als Mittelpunkte der Umkreise:



M1=(0,156.60)

M2=(0,16.60)



Die Radien sind dann, z.B.



R1=||M1-C1|| = 164,39

R2=||M2-C2|| = 52.68



Es kann auch die Norm der Differenz zu jedem der beide anderen Eckpunkte der Dreiecks genommen werden. Es kommt natürlich dann das gleiche raus

Hallo,



Der Radius des Umkreises ist R = b/(2 sinβ). Gesucht ist dafür zunächst sin β:



1) Höhenformel: hc = b*sin α -----> sin α = 35/70 ----> α = 30 Grad ----> einsetzen in Cosinusformel



2) Cosinusformel: a^2 = b^2 + c^2 - 2ab cos α ----> a^2 = 70^2 + 100^2 - 2*70*100*0.8660254

----> a = 52.684384 mm --------> einsetzen in Sinusformel



3) Sinusformel: a/sin α = b/sin β ---> sin β = 70*0.5/52.684384 ---> sin β = 0.6643 -----> einsetzen in Radiusformel:



4) Radiusformel: R = b/2 sin β ----> R = 70/2*0.6643 ------>R = 52.68 mm



Gruss

Der Umkreismittelpunkt liegt auf dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks.Du kannst jetzt die Geradengleichungen der zwei Normalen durch den Mittelpunkt der beiden Strecken b und c ermitteln und anschließend den Schnittpunkt der Normalen, oder mittels der bekannten Formeln



R = a/(2sin(α)) = b/(2sin(β)) = c/(2sin(γ))



Die Benennungskonventionen sind wie folgt:



c und b schließen den Winkel α ein, der Winkel β liegt der Seite b gegenüber und wird von a und c eingeschlossen. Die Fläche des Dreiecks kann über c und die Höhe auf c berechnet werden:



sin(α) = h/b => α = arcsin(h/b) = arcsin(0.5)



α = 30°



A = ½ch_c = ½*100mm*35mm



A = 1750mm²



Fehlt noch die Seite a



h teilt c in p un q



p = b*cos(α)



q = c - p



a = √(h² + q²)



a = √[h² + (c - b*cos(α))²] = √[35² + (100 - 70*cos(30°))²]



a = 52.68cm



R = abc/(4A) = 52.68cm*70cm*100cm/1750cm²



R = 52.68cm