Mein erster Gedanke war: h(0) ist ja 2, und f(0) ist 0, also müsste man f einfach um 2 nach oben verschieben und schon passt das.
Also f'(x) = 6x² + x³.
Aber wo sollte da das Problem sein? Ist ja wirklich nicht so schwer, den Graph bei x=0 in dieselbe Koordinate zu bringen.
Aber so ist es wohl auch nicht gemeint.
Wenn man sich die Funktion anschaut, so sieht man, dass man es (was keine große Überraschung sein sollte) mit einer kubischen Funktion zu tun hat, die bei x=0 einen lokalen Tiefpunkt hat.
Der ist natürlich bei (0|0), die Gerade schneidet die kubische Funktion vor und nach dem Tiefpunkt (was man nicht als Annähern bezeichnen würde).
Aber auch wenn man f um 2 nach oben verschiebt, schneidet die Gerade die Funktion.
Am nähesten kommt f dem Graphen h dort, wo beide dieselbe Steigung haben. Das kann man beliebig nahe haben. Im Extremfall kann man es so einrichten, dass sich f und h bei (0|2) berühren, nicht nur annähern.
Ich würde die Aufgabe also so verstehen, dass für beide Fälle (h(x)=2x+2 und h(x)=-x²+1) die Steigung von f und h bei x=0 übereinstimmen sollen. Was genau unter "annähern" zu verstehen ist, ist mir nicht ganz klar; man könnte f so modifizieren, dass sie die Graphen bei x=0 berühren.
Da die Gerade aber eine positive Steigung hat und die kubische Funktion ebenfalls ansteigt (damit meine ich, dass das beim x³ ein positiver Koeffizient steht und somit erst das lokale Maximum und dann das Minimum kommt), gibt es zwei Stellen, an denen die Steigung von f mit der von h übereinstimmt: einmal vor dem Maximum und dann nach dem Minimum. Es gäbe also zwei Möglichkeiten, f so zu modifizieren, dass sich f und h bei (0|h(0)) berühren.
Wie ich vorher angedeutet habe, sind sich die beiden Graphen bei x=0 schon ziemlich nahe, sodass der Verdacht aufkommt, dass f so modifiziert werden soll, dass die Annäherung (Berührung?) bei der "rechten" Lösung gesucht ist, wozu nur eine kleinere Verschiebung nötig wäre, aber das ist nur eine Vermutung und geht für mich aus der Fragestellung nicht klar hervor.
Der zweite Fall, wo h eine Parabel ist, ist übrigens der einfachere, auch wenn man das nicht gleich erwartet. Wie man leicht sieht, hat h bei x=0 ja den Scheitel, sodass die Berührung (wenn man die "Annäherung" so interpretieren will) also bei eine Steigung von 0 zustande kommen soll. Für die kubische Funktion bedeutet das, dass hierfür nur die Koordinaten der Extrema in Frage kommen. Wie ich oben schon ausgeplaudert habe, hat f bei x=0 ja ein Minimum, sodass hier eine einfache vertikale Verschiebung schon das gewünschte Ergebnis bringt. Eine zweite Lösung gibt es aber natürlich auch hier, wenn die Berührung beim Maximum haben möchte.
So, das sollte schon Hilfestellung genug sein. Ich habe hier ganz bewusst keine Rechnungen präsentiert, damit du dich auch noch austoben kannst.
Probier mal, wie weit du damit kommst. :-)
Gruß,
Zac