Ich kann - wie schon so oft - Tom nur zustimmen.

Nicht jede Funktion hat auch eine Umkehrfunktion.



Eine Funktion f ist zunächst mal eine Relation R, also eine Menge geordneter Paare.

Um diese Relation Funktion nennen zu dürfen, muss die zuordnung EINDEUTIG sein.



Jede Relation hat eine Umkehrrelation, das ist nämlich die Menge der geordneten Paare, bei denen man die reihenfolge vertauscht. Aber wenn diese Umkehrrelation keine eindeutige Zuordnung ist, kann ich sie nicht UmkehrFUNKTION nennen.



Also konkret hier:

f mit y = f(x) = (1/3 x + 2)² - 2 ist eine Funktion,

denn zu jedem x aus dem Definitionsbereich (hier der gesamte Bereich der Reellen Zahlen) exisiiert ein eindeutig bestimmtest y mit

y = (x/3 + 2)² - 2

Das Bild ist eine verschobene gestauchte Normalparabel, die nach oben geöffnet ist.



Vertausche ich nun die Variablen, erhalte ich als Bild eine nach rechts geöffnete Parabel.

y = (x/3 + 2)² - 2 ---> x = (y/3 + 2)² - 2



Das beschreibt nun aber nicht eine Funktion.



Wenn ich das nach y auflöse, erhalte ich:

(x + 2) = (y/3 + 2)²

wurzel(x+2) = | y/3 + 2|

+/- wurzel(x + 2) = y/3 + 2

- 2 +/- wurzel(x+2) = y/3

y = - 6 +/- 3*wurzel(x + 2)



Das ist die Gleichung der Umkehrrelation, die aber keine Funktion ist.



http://www.bilder-hochladen.net/files/big/9aqw-ch-fccb.jpg



Hier siehst Du die Graphen der Funktion und ihrer Umkehrrelation.

Zu Deiner Funktion - mag das in der Klammer

(1/3)x+2, 1/(3x)+2 oder 1/(3x+2) heißen - existiert

keine Umkehrfunktion! Es sei denn, es ist eine

Einschränkung für den Definitionsbereich gegeben.

Die Inversfunktion ist theoretisch ganz einfach herzustellen:

Du vertauschst alle x und f(x) [bzw. 'y'] und löst nach y auf.

Wie gesagt, das ist leicht gesagt, aber manchmal nicht ganz einfach durchzuführen, es gibt auch viele Beispiele, wo man überhaupt keine analytische Darstellung einer Inversfunktion hinbekommt...

In deinem Fall geht das aber schon. Erster Schritt ist wie gesagt das Vertauschen:

x = (1/3y+2)^2-2



Ich krieg bei Leuten wie dir regelmäßig die Krise, weil ihr es irgendwie nicht kapiert, dass man im Internet, wo man nicht mit Abständen zwischen den einzelnen Termen oder unterschiedlichen Höhen arbeiten kann, unbedingt Klammern setzen muss!

Ich denke mal, das 2-2 ist nicht als 0 zu verstehen, sondern so: ()² - 2. Richtig?

Allerdings ist mir nicht klar, wie ich den Klammerterm zu verstehen habe.

Ist das: 1 / (3y + 2)

Oder: 1 / (3y) + 2

Oder: 1/3 * y + 2

Oder: 1/3 * (y+2)

Jedesmal wäre die Lösung eine andere...

Ich halte mich einfach einmal strikt an die Punkt-vor-Strich-Regel und interpretiere deinen Term so:

x = (1/3 * y + 2)² - 2



Dann musst du alle störenden Operationen, die um das -glücklicherweise einzeln vorkommenden- y "herumgebaut" sind, mit der jeweiligen Gegenoperation beseitigen.

Das -2 wird mit +2 neutralisiert.

Das Quadrat durch eine Wurzel. (Hier ist eine Fallunterscheidung angesagt, die ich durch das Plusminus-Zeichen zusammenfasse).

Die Summe wird durch Abziehen neutralisiert.

Das Produkt wird durch eine entsprechende Division beseitigt.



Insgesamt geht das dann so:

x = (1/3 * y + 2)² - 2

x + 2 = (1/3 * y + 2)²

±√(x + 2) = 1/3 * y + 2

±√(x + 2) - 2 = 1/3 * y

3 (±√(x + 2) - 2) = y



Und das war's!

Die Umkehrfunktionen lauten:

f(x) = 3 √(x + 2) - 6

und

f(x) = -3 √(x + 2) - 6



Als Probe kannst du diese Funktionen jetzt als x in die ursprüngliche Gleichung einsetzen und es sollte jedesmal eine wahre Aussage herauskommen.

Alternativ kannst du die entsprechenden Funktionen zusammen mit der Ursprungsfunktion in ein Koordinationsystem einzeichnen. Dann sollte(n) die Umkehrfunktion(en) sich aus der Spiegelung der ursprünglichen Funktion an der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Sektors (y=x) ergeben.



Beides kann man sich sehr schön auf Wolframalpha anzeigen lassen:

1. Probe: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%3D+%281%2F3+%28-3+%E2%88%9A%28y+%2B+2%29+-+6%29+%2B+2%29^2+-+2

2. Probe: http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%281%2F3+x%2B+2%29^2+-+2%2C+3+%E2%88%9A%28x+%2B+2%29+-+6%2C+-3+%E2%88%9A%28x+%2B+2%29+-+6%2C+x%3B+from+-20+%3C+x+%3C+5

Die Graphik ist leider nicht so schön, da die x- und y-Achsen nicht im gleichen Maßstab sind und dadurch die Parabeln verzerrt sind. Außerdem werden auch die Imaginärteile angezeigt, was hier nicht besonders hilfreich ist. Mit einem anderen Plotter geht das vielleicht besser, aber das Suchen überlasse ich bei Interesse dir! :-p





Gruß,

Zac

Es ist lange her, wo ich mich mit Mathe beschäftigt habe.



Nach kurzes Schauen in Wikipedia, würde ich die Umkehrfunktion deiner so schreiben:

f^-1(x)=3*((würzel(x+2))-2)



Keine Garantie ^^

Ich glaube ich rede auch im Namen anderer Leute, wenn ich sage: F**k this s**t. I'll become the next Hokage.