y = f(x) = 6/x - 3/x²

y = f(x) = (6x - 3)/x²



Für x = 0 ist die Funktion nicht definiert



Es gilt y = f(x) = 1/x² * (6x - 3)



lim x -> 0 f(x) = lim 1/x² * lim (6x - 3) = oo * ( - 3) = - oo



Dabei ist 1/x² immer positiv

(Deshalb müssen linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert hier NICHT getrennt betrachtet werden)



Also ist die y-Achse mit der Gleichung x = 0 eine Asymptote, der sich der Graph der Funktion von beiden Seiten nach unten annähert.



(@Danke für den Hinweis, war natürlich nur ein Tippfehler, wie aus dem Rest deutlich hervorgeht,.

Habe das deshalb hier sofort korrigiert)



Für x -> +oo bzw. x -> - oo gilt:

lim (6/x - 3/x²) = 0



Also ist für das Verhalten der Grenzwert 0, die x-Achse mit der Gleichung y= 0 also die Asymptote an den Graph der Funktion



Hier der Graf der Funktion:

http://www.bilder-hochladen.net/files/big/9aqw-b0-dc91.jpg

Es gibt senkrechte und waagrechte (und schräge, nur so nebenbei) Asymptoten.

Die senkrechten Asymptoten nennt man auch Polstellen. Du erhältst diese, wenn der Nenner deiner Funkton 0 ist, da man ja bekanntermaßen nicht durch 0 teilen darf. In deinem Fall ist die senkrechte Asymptote also bei x=0, dort hat die Funktion auch eine Definitionslücke.

Waagrechte Asymptoten erhältst du, indem du den Limes, also den Grenzwert ausrechnest, ich weiß nicht ob ihr das in der Schule schon gemacht habt?

Wenn nicht überlegst du dir einfach, was die Funktion macht, wenn sie gegen + oder - unendlich geht. In deinem Fall geht die Funktion in beiden Fällen gegen 0, du hast also die waagrechte Asymptote y=0.

In dem Fall entsprechen die Asymptoten also den Achsen! :)

Hallo!





Es ist, wie Anni es geschrieben hat. Die senkrechte Asymptote ist die y-Achse und die waagerechte Asymtote ist die x-Achse.



Hier hast Du alle drei wichtigen Grenzwerte auf einen Blick:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+6%2Fx+-+3%2Fx%C2%B2



lim (6/x - 3/x²) = - ∞ <----- (Das nennt man einen uneigentlichen Grenzwert,

x->0 .............................. roter Pfeil im Plot auf der y-Achse , in Richtung -> minus )

(Damit ist die senkrechte Asymptote die (negative) y-Achse, Polstelle x=0)



lim (6/x - 3/x²) = 0

x-> +∞

lim (6/x - 3/x²) = 0

x-> -∞

(Und damit ist die waagerechte Asymptote die x-Achse lim f(x) = lim y = 0)



Ich kenne Deinen Wissensstand in Mathematik nicht. Sagen Dir die Grenzwertsätze etwas?

Was meinst Du mit 'berechnen' ?

Die letzten beiden Grenzwerte sind beide = Null, weil die Summe von diesen beiden Grenzwerten

lim 6/x + lim (-3/x²) = 0 + 0 = 0

ebenfalls Null ist. (Das gilt für +∞ und für -∞)





Den ersten (uneigentlichen) Grenzwert lim für x->0 f(x) = - ∞

lim (6/x - 3/x²) = - ∞

x->0

musst Du getrennt betrachten

einmal für x->0 und x>0 (den rechtsseitigen)

und

für x->0 und x<0 (den linksseitigen)

In beiden Fällen erhälst Du -∞

lim für x->0 f(x) = - ∞ = MINUS UNENDLICH !!!

http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+6%2Fx+-+3%2Fx%C2%B2%2C+x%3D0







@Wurzelgnom

Das ist Blödsinn, was Du da schreibst.

"..........Für x = 0 ist die Funktion nicht definiert...."<--- Richtig!

"..........Es gilt y = f(x) = 1/x² * (6x - 3) ......."..........<--- Das ist auch noch korrekt!



Und jetzt wird es mal wieder grausam.



"....lim x -> 0 f(x) = 0 * ( - 3) = 0 ....".....................<--- Falsch!



Der Grenzwert der Funktion f(x) für x gegen Null ist gleich minus unendlich und nicht =0 !!!

http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+6%2Fx+-+3%2Fx%C2%B2%2C+x%3D0

(Das kommt davon, weil man die Funktion in Faktoren gesplittet n i c h t einzelnd auf Grenzwerte untersuchen darf.

+∞ mal 0 ist n i c h t zwangsläufig = 0

Ich weiß gar nicht, wie oft ich das hier schon in diesem Forum gepostet hatte.)







Gruß









Hallo nochmal!



@Wurzelgnom

Gern geschehen. Aber auch diese neue Zeile

"...... lim x -> 0 f(x) = lim 1/x² * lim (6x - 3) = oo * ( - 3) = - oo.... "

ist mathematisch n i c h t korrekt!



Seit wann 'rechnet' man mit erweiterten reellen Zahlen |R U {+oo, - oo} ? In Deiner Schule?





Deine Vorgehensweise den uneigentlichen Grenzwert zu ermitteln, impliziert, dass man stets mit +oo und - oo rechnen dürfte. Dann wäre aber auch

lim (6/x - 3/x²) = lim 6/x - lim 3/x² = +oo minus +oo = ? <- Was soll das dann

x->0................... x->0....... x->0 .......................................... Deiner Meinung nach sein?



+oo minus +oo <-Das ist in der Mathematik nicht definiert!

Das ist also genauso ein Blödsinn, wie Deine neue Zeile,

(oo * ( - 3) = - oo <-- Wer sagt Dir, dass das gilt, Wurzelgnom?).





Auch dieses einfache Gegenbeispiel, zeigt Dir hoffentlich, dass man n i c h t grundsätzlich einfach 1/x² ausklammern darf, um dann die einzelnen Grenzwerte der Faktoren einfach zu multiplizieren! Auwei...

Das ist (mathematisch gesehen) kein Tippfehler, sondern einfach nur grausam falsch!



lim sin(x)/x² = lim 1/x² (sin(x)) ≠ lim 1/x² * lim sin(x) = +oo * 0 <----- falsch

x->0............. x->0 ....................... x->0 ...... x->0



Der (beidseitige) Grenzwert von 1/x²*sin(x) existiert n i c h t!

(Obwohl hier lim 1/x² = +oo und lim sin(x) = 0 , für x->0 existieren.)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+sin%28x%29%2Fx%C2%B2%2C+x%3D0

Man schreibt für gewöhnlich für die beiden existierenden e i n s e i t i g e n Grenzwerte

lim sin(x)/x² = - oo und lim sin(x)/x² = + oo

x->0⁻........................... x->0⁺

Die senkrechte Asymptote dieser Funktion sin(x)/x² ist (x=0) die y-Achse, weil sie zwei

e i n s e i t i g e Grenzwerte besitzt, und nicht, weil lim 1/x² = + oo und lim sin(x) = 0, für x->0 .

(Genauso verhält es sich bei diesem Beispiel (offensichtlich) dieses Schülers oder dieser Schülerin. )







Lieber Fragesteller oder liebe Fragestellerin!

Ja, man k a n n den rechts- und linksseitigen Grenzwert betrachten. Man kann hier sonstige Sätze aus der Mathematik anwenden, um einen Grenzwert zu 'berechnen', oder besser nach zu weisen. Im einfachsten Fall nimmst Du die Definition 'Grenzwert einer Funktion'.

Leider weiß ich nicht, ob Du ein/e Schüler/in oder ein/e Studentin bist, so dass man dementsprechend darauf eingehen könnte. Aber bitte, schreibe nicht diese Zeile ab. Die ist mathematisch (ob Du nun Schüler oder Student bist) genauso falsch, wie die erste Antwort von Wurzelgnom.

"...... lim x -> 0 f(x) = lim 1/x² * lim (6x - 3) = oo * ( - 3) = - oo...."



Sie ist jetzt nur im Endergebnis richtig = minus unendlich = - oo, schrieb ich ja oben schon.

Schau vielleicht auch mal, wie die 'Grenzwertsätze' lauten (z.B. bei Wikipedia)

Ich bin erst bei der Exponentialfunktion angelangt und habe ehrlich gesagt keine Ahnung von "Asymptoten".Allerdings habe ich deine Aufgabe mal in einem Online-Rechner eingegeben, der daraufhin einen Rechenweg samt Ergebnis präsentiert hat:http://www.wolframalpha.com/input/?i=6%2Fx+-+3%2Fx%C2%B2



@Wurzelgnom:Deine Antworten haben mir auch schon oft geholfen, gegen so ein Mathematikgenie komme ich natürlich nicht an, also hast du in "deiner" Kategorie wie erwartet mal wieder ganz klar gewonnen :)



Ich hoffe, dass hilft dir etwas weiter..?