nee, überhaupt nicht dasselbe.



Definitionsbereich, auch Definitionsmenge genannt: Dort wo der Term definiert ist.

...Lücke: Dort wo der Term NICHT definiert ist.



Beispiel: Bestimme den maximalen reellen Definitionsbereich des Terms

T(x) = 1/(x^2-1).



Vorsicht Bruch! Der Nenner darf nicht gleich Null sein.

Wann ist der Null?

Wenn x = 1 oder x= -1 ist.



Antwort: Maximaler Defintionsbereich ist gleich IR - {-1, 1}.

Definitionslücken bei -1 und 1.

PS: das "- " vor der geschweiften Klammer sollte schräg geschrieben werden.

Hallol, martimar,



Du hattest Doch gerade nach den gebrochen rationalen Funktionen gefragt.

Ganz rationale Funktionen sind für alle reellen Zahlen definiert. Sie haben keine Definitionslücken, ihr Definitionsbereich ist der Bereich der Rellen Zahlen |R.



Gebrochen rationale Funktionen jedoch können nun Definitionslücken haben. Dass sind Stellen, wo die Funktionsnicht definiert ist.

Das wären alle Nullstellen der Nennerfunktion.

Der Definitionsbereich ist dann der Bereich der Reellen Zahlen OHNE diese Zahlen.

Definitionsbereich/-menge ist die Menge an Zahlen, die du in die Funktion einsetzen darfst.

Definitionslücke ist eine Stelle, an der die Funktion nicht definiert ist.

im Definitionsbereich kann man ne Funktion zeichnen

in einer Definitionslücke nicht



wenn du z.B hast 4/(x-8) hast du bei 8 eine Definitionslücke, denn 8-8=0 und durch Null darf man nicht teilen

beispiel eines definitionsbereiches:



Gegeben sei die Funktionsvorschrift f: x \mapsto x^2.

1. Als Funktion \R_0^+\to\R_0^+ (also mit Definitionsmenge \R_0^+ und Zielmenge \R_0^+) ist f bijektiv, also sowohl surjektiv als auch injektiv.

2. Als Funktion \R_0^+\to\R (also mit Definitionsmenge \R_0^+ und Zielmenge \R) ist f injektiv, aber nicht surjektiv.

3. Als Funktion \R\to\R_0^+ (also mit Definitionsmenge \R und Zielmenge \R_0^+) ist f surjektiv, aber nicht injektiv.

4. Als Funktion \R\to\R (also mit Definitionsmenge \R und Zielmenge \R) ist f weder surjektiv noch injektiv.





beispiel einer definitionslücke:



Plot der Funktion exp(1 / z). Sie hat im Nullpunkt eine wesentliche Singularität (Bildmitte). Der Farbton entspricht dem komplexen Argument des Funktionswertes, während die Helligkeit seinen Betrag darstellt. Hier sieht man, dass sich die wesentliche Singularität unterschiedlich verhält, je nachdem, wie man sich ihr nähert (im Gegensatz dazu wäre ein Pol gleichmäßig weiß).

Es sei \Omega=\mathbb C und z0 = 0.

* f\colon \Omega \setminus \{0\}\to\mathbb C,z\mapsto z+3 kann durch f(0) = 3 stetig auf Ω fortgesetzt werden, also hat f bei 0 eine hebbare Singularität.

* f\colon \Omega\setminus \{0\}\to\mathbb C,z\mapsto \frac{1}{z} hat bei 0 einen Pol erster Ordnung, weil g(z)=z^1\cdot f(z) durch g(0) = 1 stetig auf Ω fortgesetzt werden kann.

* f\colon \Omega\setminus \{0\}\to\mathbb C,z\mapsto\exp\left(\frac{1}{z}\right) hat bei 0 eine wesentliche Singularität, weil z^k \exp\left(\frac{1}{z}\right) für z\to 0 für festes k\in\mathbb N stets unbeschränkt ist bzw. weil in der Laurentreihe um z0 unendlich viele Glieder des Hauptteils nicht verschwinden, denn es gilt f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!\,z^n}.



ist doch ganz einfach, oder?