Frage:
Wie kann ich beweisen, dass a=b ist?
spreedose
2006-12-19 07:57:41 UTC
Ich habe mal gelesen, dass wenn man zeigen kann, dass a<= b und b<=a, dass es dann daraus folgt, dass a = b ist. Stimmt das?
Vierzehn antworten:
LXP
2006-12-20 03:34:47 UTC
Zum Beispiel so:



a <= b



ist äquivalent zu



a = b - u



wobei u eine rationale Zahl ist mit u >= 0



Analog ist



b <= a



äquivalent zu



b = a - v



wobei v eine rationale Zahl ist mit v >= 0.



Also ist das angegebene Ungleichungssystem äquivalent zu dem Gleichungssystem



a = b - u (u rational und u >= 0)

b = a - v (v rational und v >= 0)



Damit kann man rechnen; subtrahiere b von der oberen Gleichung und (b - v) von der unteren. Ergebnis:



a - b = -u (u rational und u >= 0)

v = a - b (v rational und v >= 0)



also durch Gleichsetzen



v = -u (u und v rational, u >= 0, v >= 0)



oder auch durch Addition von u



u + v = 0 (u und v rational, u >= 0, v >= 0)



daraus folgt



u = v = 0



und durch Einsetzen in eine der obigen Gleichungen im ursprünglichen Gleichungssystem



a = b



q.e.d.





P.S.: Christian, leider hast Du die zu beweisende Aussage implizit in Deine Voraussetzung gesteckt. So geht's leider nicht.







Verstöße: 5 (Blutiger Anfänger)
Christian
2006-12-20 03:33:42 UTC
Ich würde es so schreiben



I Wenn a<=b dann gilt mit x>=0 -> b-x=a

II Wenn b<=a dann gilt mit x>=0 -> a-x=b



Wenn ich II in I einsetze gilt

a-2x=a und damit

2x = 0



Einzige Lösung ist x=0 daraus folgt b=a
TorstenTiger
2006-12-19 15:53:30 UTC
Das stimmt absolut. Da B nicht gleichzeitig groesser und kleiner als A sein kann, muss A = B sein.
JB
2006-12-19 09:34:11 UTC
1)a<=b

b<=a, kann man auch als 2)a>=b schreiben.

daraus folgt das 3)a= b+c ist ( c Element R^+0, da >=b)

dieses setz man nun in 1) ein:

1) b+c<=b

c<= b- b

c<=0

Da c Element R^+0 ist fällt <0 weg und es bleibt c=0 übrig.

Das setzt man wieder in 3) ein:

3)a= b+c

a= b+0

a=b

q.e.d. sag ich nur!
anonymous
2006-12-19 08:14:04 UTC
Das ist doch trivial:



Da sagst ja nicht "kleiner als", bzw "größer als", sondern "kleiner gleich" und "größer gleich".
?
2006-12-19 08:12:30 UTC
Meiner Meinung nach stimmt das!

Denn a kann unmöglich grösser als b sein, während b auch grösser als a ist!



Beweisen kann ich's nicht, braucht nur ein bisschen logisches denken...
z_blackblue
2006-12-19 08:04:56 UTC
ja natürlich, anders kann es doch gar nicht sein. wenn du zum beispiel weißt, dass b=1 ist und du weiß, dass a eine zahl ist, die sowohl kleinergleich als auch größergleich b sein kann, dann muss a gleich b sein, also hier auch 3. weil wenn se größer als 3 wäre, wäre a nicht mehr kleinergleich b und wenn se kleiner als 3 wäre, wäre a nicht mehr größergleich b.
Mr. Burn
2006-12-19 16:03:50 UTC
....wenn du genau so schlau wie dein bruder bist und dein bruder genau so schlau (oder als alternative so "groß") wie deine schwester, dann bist du nun mal genauso schlau/groß wie deine schwester.



also stimmt die von dir genannte behauptung (war das nicht das kommutativgesetz ?: bin zu faul zu googeln) !!



wenn du keine schwester hast: dann kann ich dir leider auch nicht helfen ;-)
?
2006-12-19 09:32:36 UTC
Das stimmt, weil ja mit der ersten Aussage bewiesen ist, dass a nicht größer als b ist. a kann also nur kleiner oder gleich b sein. mit der zweiten aussage ist bewiesen, dass a nicht kleiner als b ist. Wenn a aber weder kleiner noch größer b ist, können sie nur gleich groß sein, was anderes bleibt nicht übrig.
anonymous
2006-12-19 16:31:25 UTC
Bei einem Quadrat ja.
summerhill
2006-12-19 08:01:05 UTC
ab hier gehts ab.--Bewiesen, ich habs zusammenbekommen.
anonymous
2006-12-19 08:02:01 UTC
- (a + 10)² = (a + 10) * (a +10) = a*a + a*10 + 10*a + 10*10 = a² +20a +100

- (6 + a)² =(6 + a) * (6 + a) =6*6 + 6*a + a*6+ a*a = 36 + 12a + a²

- (4 + 2c)² =(4 +2c) * (4 + 2c) =4*4 + 4*2c + 2c*4 + 2c*2c = 16 + 16c + 4c²

- (5b +7c)² = (5b +7c) * (5b + 7c) = 5b*5b + 5b*7c + 7c*5b + 7c*7c =

25b² + 70bc + 49c²





- (4d - 2g)² = (4d -2g) * (4d - 2g) =4d*4d - 4d*2g - 2g*4d + 2g*2g =

16d² -16dg + 4g²

- (6a -3b)² = (6a -3b) * (6a - 3b) = 6a*6a - 6a*3b - 3b*6a + 3b* 3b =

36a² -36ab + 9b²

- (1 -a)² = (1 -a) * (1 - a) = 1*1 - 1*a - a*1 + a*a = 1 - 2a + a²

- (a -7b)² = (a - 7b) * (a - 7b) = a*a - a*7b - 7b*a + 7b*7b = a² - 14ab + 49b²

- (0,2a -c)² = ( 0,2a - c) * (0,2a -c) = 0,2a*0,2a - 0,2a*c - c*0,2a + c*c =

0,04a² - 0,4ac + c²

- (1,2 - 0,2b)² = (1,2 - 0,2b) * (1,2 - 0,2b) = 1,2 * 1,2 - 1,2*0,2b - 0,2b *

1,2 + 0,2b * -0,2b) = 1,44 - 0,48b + 0,04b²





- (8 - a) (8 + a) = 8*8 + 8*a - a*8 - a*a = 64 + 8a -8a -a² = 64 - a²

- (a + 2) (a - 2) = a*a - a*2 + 2*a - 2*2 = a² -2a +2a -4 = a² -4

- (5a -c) (5a + c) = 5a*5a + 5a*c - c*5a - c*c =25a² +5ac -5ac -c² = 25a² -c²

- (0,5a - 8b) (0,5a + 8b) = 0,5a*0,5a + 0,5a*8b - 8b*0,5a - 8b*8b = 0,25a²

+4ab -4ab -64b² = 0,25a² -64b²

- (0,2d + 8e) (0,2d - 8e) = 0,2d*0,2d - 0,2d*8e + 8e*0,2d - 8e*8e = 0,04d²

-1,6de + 1,6de -64e² = 0,04d² -64e²

- (3d+4g) (3d - 4g)= 3d*3d - 3d*4g + 4g*3d - 4g*4g = 9d² - 12dg + 12dg -16g² =

9d² - 16g²

- (a - 1.8d) (a + 1.8d)= a*a + a*1.8d - 1.8d*a - 1.8d*1.8d= a² + 1.8ad -1,8ad -3,24d²

= a² - 3,24d²



- 36 - a² = (6)² - (a)² = (6 +a)*(6-a)

- a² - 64 = (a)² - (8)² = (a+8)*(a-8)

- 49d² - 16g² = (7d)² - (4g)² = (7d+4g)*(7d-4g)

- 0,09a² - 25c² = (0,3a)² - (5c)² = (0,3a+5c)*(0,3a-5c)

- a² - 9 = (a)² - (3)² = (a+3)*(a-3)

- 16d² - 0,49g² = (4d)² - (0,7g)² = (4d+0,7g)*(4d-0,7g)

- 0,25a² - 1,21 = (0,5a)² - (1,1)² = (0,5a+1,1)*(0,5-1,1)





- 5y² - 45 = 5(y² - 9)² = 5 [(y)² - (3)²] = 5[(y+3)*(y-3)]







- d² - 10d + 25 = (d)² - 2*5d +(5)² = (d - 5)²

- 9d² - 36de + 36e² = (3d)² - 2*3d*6e +(6e)² = (3d - 6e)²

- 0,49d² - 11,2d + 64 = (0,7d)² - 2*0,7d*8 + (8)² = (0,7d -8)²

- a² - 16a + 64 = (a)² -2*a*8 + (8)² = (a - 8)²

- a² - 18a + 81 = (a)² - 2*a*9 + (9)² = (a - 9)²

- 9a² - 12a + 4 = (3a)² - 2*3a*2 + (2)² = (3a - 2)²

- 49a² - 84ab + 36b² = (7a)² - 2*7a*6b + (6b)² = (7a - 6b)²

- 1,44a² - 21,6ad + 81d² = (1,2a)² - 2*1,2a *9d + (9d)² = (1,2a -9d)²



- 16 + 16c + 4c² = (4)² + 2*4*2c + (2c)² = (4 + 2c)²

- 49a² + 70ab +25b² = (7a)² + 2*7a*5b + (5b)2 = (7a +5b)²





nee, ich glaube das war nichts...
anonymous
2006-12-19 08:00:58 UTC
nein das stimmt nicht! wurde ja schon begründet
anonymous
2006-12-19 07:59:14 UTC
nein das stimmt nicht!



Entweder a=b oder a ist eben größer oder kleiner als b. Alles zusammen GEHT NICHT!


ⓘ
Dieser Inhalt wurde ursprünglich auf Y! Answers veröffentlicht, einer Q&A-Website, die 2021 eingestellt wurde.
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