Frage:
Stochastik - Ziegen-Problem - kürzeste und prägnanteste Erklärung?
2007-02-19 08:21:37 UTC
Der absolute Hammer aus dem Bereich der Stochastik-Klassiker, bei dem manchmal angeblich sogar Mathe-Professoren aufs Glatteis geraten: Spiel-Show, Kandidat hat 3 geschlossene Tore zur Auswahl, hinter 2 Toren sind Ziegen ( = Nieten), hinter einem Tor ein supertolles Auto ( = Hauptpreis). Kandidat entscheidet sich für ein Tor. Trommelwirbel - doch dann plötzlich sagt der Moderator "STOP", lässt eines der beiden anderen Tore öffnen, eine der beiden Ziegen erscheint. Dazu folgende Worte an den Kandidaten: "Wenn Sie möchten, könnten Sie sich noch einmal anders entscheiden, und auf das andere (noch geschlossene) Tor wechseln." Sollte der Kandidat das Tor wechseln - bzw. präziser: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Kandidat gewinnt, wenn er sein Tor wechselt - zwei Drittel oder 50%?
Keine Fangfrage, keine lustige Wortwitz-Pointe, kein "Ich glaube so aus dem Bauch heraus", keine Spitzfindigkeiten (der Fragetext ist eindeutig) - sondern bitte nur knallharte Fakten und Stochastik.
Sieben antworten:
Martin G.
2007-02-19 15:32:13 UTC
Ich stimme UNEINGESCHRÄNKT Zaphod B zu, denn mathematisch hat er Recht, solange er sich "innerhalb" des Systems befindet.

Für den Außenstehenden, der also erst den Raum betritt, wenn das Tor schon geöffnet ist, ist die Wahrscheinlichkeit 1/2.



Man verdeutliche sich das an folgendem Beispiel:



Es sind 100 Tore und Kandidat entscheidet sich z.B. für Tor 37. der Showmaster sagt: nun schauen Sie mal hier und öffnet alle Tore ausser Tor 37 und z.B. Tor 68. Überall meckert eine Ziege.



Sollte Der Kandidat nun wechseln? Natürlich sollte er, denn das er bei 37 einen Treffer landet, war vor der Toröffnung 1/100. Das hinter Tor 68 der Treffer ist, ist doch wohl etwas höher als bei Tor 37, oder?



Nur ein Aussenstehender, der jetzt erst den Raum betritt, würde eine 50:50 Chance erkennen. Der Kandidat sieht hier die 1/100 zu 99/100 chance.



Das Geheimnis lautet: Steigern der Wahrscheinlichkeit durch eliminieren der Nieten. Das funktioniert auch bei 3 Toren.



Allerdings: Wir rechnen hier mit Wahrscheinlichkeiten, dass hinter dem anderen Tor die Niete sitzt, besteht natürlich weiterhin .



Gruss

M.





PS: das ist endlich mal eine Frage!! Klasse! Stern von mir!
keule_xxx
2007-02-20 06:54:58 UTC
Das Ziegen - Problem soll unter anderem die Fehleinschätzung darstellen. Da viele Menschen dazu neigen, kein Unterschied bei den Wechsel bzw. nicht Wechsel der restlichen 2 Türen zu sehen.



Zu Beginn ist die Wahrscheinlichkeit bei 1/3 die richtige Tür zu bekommen. Der Hauptgewinn steht mit 2/3 hinter den beiden anderen Türen.

Bei keinen Wechsel bleibt die Wahrscheinlichkeit bei 1/3 die richtige Tür gewählt zu haben.

Bei einen Wechsel erhöht sich die Wahrscheinlichkeit um das doppelte.



Anders, da es 2 Ziegen und ein Auto gibt ist die Wahrscheinlichkeit von 2/3 die Ziegen zu bekommen und 1/3 das Auto.

Das Öffnen der Tür mit der Niete hat kein Einfluß auf die Wahrscheinlichkeit, da es ja schon vorher bekannt war, das 2 Ziegen und ein Auto vorhanden waren. Also bleibt die Wahrscheinlichkeit bei 1/3 für das Auto, sofern man nicht Wechselt.



Ohne Wechsel bleibt die Wahrscheinlichkeit bei 1/3 zu Gewinnen, beim ständigen Wechsel ist die Wahrscheiinlichkeit bei 2/3 zu Gewinnen.

Tor 1:Z , Tor2: Z, Tor3:A ->

Tor1 gewählt, Tor2 geht auf, Wechsel->Gewinn

Tor2 gewählt, Tor 1 geht auf, wechsel ->Gewinn

Tor 3 gewählt, wechsel-> verliert



mfg
2007-02-19 17:01:21 UTC
Der Kandidat sollte wechseln!



Im ersten Schritt beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass er eine Ziege gewählt hat, 2/3 denn hinter zwei von drei Türen verbirgt sich eine solche.



Nach dem Öffnen eines Tores durch den Spielmaster ist eine der Ziegen eliminiert, denn der Spielmaster muss immer ein Ziegentor öffnen.



Würde der Kandidat das Tor jetzt nicht wechseln, dann wäre die Wahrscheinlichkeit, dass dahinter eine Ziege ist, immer noch 2/3, denn er verhält sich dann so, als wenn er keine zweite Wahlmöglichkeit hat.

Tatsächlich beträgt jetzt aber die Wahrscheinlichkeit, dass hinter der anderen Tür der Gewinn liegt, 1/2.

Wenn man jetzt also die beiden Türen vergleicht, dann ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten dafür, dass sich hinter ihnen eine Ziege verbirgt:



(a) Tür, die vom Kandidaten gewählt wurde - 2/3

(b) Tür, die nicht vom Kandidaten gewählt wurde - 1/2



p(a) > p(b)



Durch den Wechsel der Tür nimmt der Kandidat diese geringere Wahrscheinlichkeit zu verlieren war.
MasH
2007-02-19 16:31:19 UTC
*grins*

Gibt ein Spektrum der Wissenschaft wo das genau geklärt wurde.

Gabs gerade als wir dieses Problem in der Uni gestellt bekommen haben-Abgabe des Heftes gab voll Punktzahl.

Ist von dieser Marianne/Marilyn irgendwas (höchster gemessener IQ) beantwortet worden-und ab auch böse Leserbriefe von Profs.



Lösung ist im Prinzip: Entscheidung am Anfang, 1/n (N=Anazhl der möglichen Tore), Entscheidung am Ende : 1/2 WWahrscheinlichkeit das richtige Ergebnis zu haben.



Du kannst es Dir leichter machen, indem Du n=100 setzt-also am Anfang aus Hundert Türen eine gezogen. Wahrscheinlichkeit die richtige Tür zu haben: 1%. Jetzt machst Du 98 Türen auf, hast also noch zwei. So, die eine Tür die außer Deiner noch offen ist, hat 50% Chance. 50>1, also wechseln.



Ciao,

MasH
Tess
2007-02-19 16:26:28 UTC
50% zwei Tore, eine Niete ein Gewinn, klingt für mich sehr nach 50:50.
swissnick
2007-02-19 20:45:27 UTC
Es ist - wie schon erwähnt - eine neue Auswahl-Situation.



Aus zwei Toren mit einem Gewinn und einer Niete kann der Kandidat eines auswählen - also 50%-Chance.



Da er bereits eine Wahl getroffen hat, würde sich seine Chance durch einen Wechsel weder vergrössern noch verkleinern - vorausgesetzt, dass das Spiel fair abläuft.



Der Kandidat ist also einfach nur verwirrt - aber rein statistisch gewinnt oder verliert er durch einen Wechsel gar nichts.
SAD-MG
2007-02-19 18:34:00 UTC
reduzieren wir das Problem einmal auf das Klassische Urnenmodell.

In der Urne sin zunächst 3 Kugeln, 1 Weiße und 2 Rote

die Warscheinlichkeit eine Rote zu ziehen ist 2/3 und die eine Weiße zu ziehen ist 1/3



Jetzt wird eine rote Kugel aus dem Spiel genommen.

Es sind nur noch zwei Kugel im System die Wahrscheinlichkeiten sind für Weiß 1/2 und für Rot 1/2



Stochastisch ist eben jetzt ein neues Modell entstanden. Er kann sich für das Tor entscheiden das er schon einmal genommen hat oder eben für das andere Tor.



Ergebnis :

50% Wahrscheinlichkeit das eins der beiden der Gewinn ist.



Habs nochmal durch Baumdiagramm durchgerechnet :

1 Ebene Wahl 1 aus 3

1/3 Wahrscheinlichkeit das Gewinn ausgewählt

...2 Ebene Wahl 1 aus 2

......1/2 Wahrscheinlichkeit das Gewinn ausgewählt bleibt

.........Gesamtwahrscheinlichkeit 1/6

......1/2 Wahrscheinlichkeit das Niete gewählt wird.

.........Gesamtwahrscheinlichkeit 1/6 (Bei Wechsel)

2/3 Wahrscheinlichkeit das Niete ausgewählt

...2 Ebene Wahl 1 aus 2

......1/2 Wahrscheinlichkeit das Niete ausgewählt bleibt

.........Gesamtwahrscheinlichkeit 2/6

......1/2 Wahrscheinlichkeit das Gewinn gewählt wird.

.........Gesamtwahrscheinlichkeit 2/6 (Bei Wechsel)



Also beim Wechsel ist die Gesamtwahrscheinlichkeit von Anfang an Gerechnet für Gewinn 2/6 für Verlust 1/6

spricht scheinbar für den Wechsel.

Wenn nicht Gewechselt wird ist die Gesamtwahrscheinlichkeit von Anfang an für Gewinn 1/6 für Verlust 2/6


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Dieser Inhalt wurde ursprünglich auf Y! Answers veröffentlicht, einer Q&A-Website, die 2021 eingestellt wurde.
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