Frage:
Warum hängt die Eigenschaft von x von dem Grad der letzten Ableitung und dessen Funktionswert ab?
Kira
2009-08-29 07:41:08 UTC
Folgendes Beispiel:

f(x) = x^5
f '(x) = 5x^4
f ''(x) = 20x^3 N(f ') = {0} (x=0 ist demnach vielleicht eine Wendestelle)

f '''(x) = 60x^2
Bekanntlich wird eine Wendestelle bestätigt, wenn die dritte Ableitung für x ungleich 0 ist.

f '''(0) = 0
f(x) = x^5 müsste demnach für x=0 keine Wendestelle haben, allerdings ist das falsch, da x^5 tatsächlich eine Wendestelle bei 0 hat.

Also wird weiter abgeleitet:
f ''''(x) = 120x
f '''''(x) = 120

Erst f '''''(0) ist nicht mehr Null, sondern 120.
Das war jetzt ein explizites Beispiel, allgemein zu diesem Problem ist mir folgendes bekannt:

Wenn der Grad der Ableitung(=>2), für die f(x) ungleich Null ist, gerade ist und der Funktionswert positiv (negativ), dann ist x lokale Tiefstelle (hochstelle)
Wenn der Grad der Ableitung(=>3), für die f(x) ungleich Null ist, ungerade ist und der Funktionswert positiv (negativ), dann ist x steigende (fallende) Sattelstelle.
Wenn der Grad der Ableitung(=>3), für die f(x) ^ f '(x) ungleich Null ist, ungerade ist und der Funktionswert positiv (negativ), dann ist x eine (r/l)-Wendestelle ((l/r)-Wendestelle).

Meine Frage lautet nun:
Warum hängt die Eigenschaft von x von dem Grad der letzten Ableitung und dessen Funktionswert ab?
Drei antworten:
ChacMool
2009-08-30 00:20:52 UTC
Da hast du irgendwas mit der Einsetzerei und den Bedinguneg noch nicht verstanden.

1. Kriterium für Hochpunkt, Tiefpunkt UND Sattelpunkt ist f´(x) =0

2. Krterium für Maxima/Minima: f´´(x)> oder < 0

3. Kriterium f```(x) = 0, dann hast du eine Wendestelle, die eine besondere Wendestelle ist (Sattelpunkt), wenn eben die erste Ableitung auch Null ist.

Das heißt, bei allen Überlegungen musst du zuerst mal f´(x) = 0 lösen und da kommt x = 0 heraus. Die Stelle untersuchst du dann weiter.
Fenestrarius
2009-08-29 20:17:31 UTC
Dieses Kriterium versagt dann seinen Dienst, wenn an einer potentiellen Wendestelle mit f"(xw) = 0 auch f'''(xw) = 0 ist. Dann hilft das folgende allgemeinere Kriterium.

f sei in einer Umgebung von xw zweimal differenzierbar und es sei

f"(xw) = 0. Wenn dann die zweite Ableitung f" an der Stelle xw einen Vorzeichenwechsel hat, so liegt dort eine Wendestelle von f.



Es hängt also nicht von der "letzten" Ableitung ab.
Schröder
2009-08-29 14:55:16 UTC
Ein wichtiger Hinweis:

Bei Extremwerten und Wendepunkten kommt zwar auf die Nullstellen der ersten bzw. zweiten Ableitung an. Sehr wichtig ist jedoch, ob diese Ableitungen an ihren Nullstellen das Vorzeichen wechseln.

f(x) = x³ f'(x) = 3x² f'' (x) = 6x

f '(x) = 0 für x = 0, jedoch keine Extremwert, f ' (x) nicht das Vorzeichen wechselt, also immer größer gleich Null ist. also steigt.


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Dieser Inhalt wurde ursprünglich auf Y! Answers veröffentlicht, einer Q&A-Website, die 2021 eingestellt wurde.
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