Der Standardbeweis hierzu (oberes Niveau in Klasse 9)
ist der, dass √2 irrational ist.
Das ist hier gut erklärt worden:
http://de.wikipedia.org/wiki/Beweis_der_Irrationalit%C3%A4t_der_Wurzel_aus_2_bei_Euklid
Man muss es nun auf √5 übertragen:
Die Beweisführung erfolgt indirekt nach der Methode des Widerspruchsbeweises,
das heißt, es wird gezeigt, dass die Annahme, √5 sei eine rationale Zahl,
zu einem Widerspruch führt.
Es wird also angenommen, dass √5 rational ist, sich also als Bruch zweier ganzer Zahlen
p,q∈Z darstellen lässt; dabei nimmt man außerdem an, dass p/q schon ein teilerfremder, also gekürzter Bruch ist.
Aus √5=p/q (also aus der Annahme des Gegenteils der Behauptung)
folgt direkt: (√5)²=p²/q² bzw. 5=p²/q².
⇒ p²=5⋅q² _____ Gleichung (*)
Da das Produkt 5⋅q² durch 5 teilbar ist,
muss auch die linke Seite, also p² durch 5 teilbar sein,
und zwar sogar zwei Mal!
Denn wenn "das eine p" durch 5 teilbar ist, ist es ja wohl auch "das andere p"...
Also ließe sich demzufolge p so darstellen: p=5⋅r (mit r∈Z).
Weiter mit Gleichung (*):
5⋅q² = p² = (5r)² = 25r²
also
5⋅q² = 25r²
nach Division durch 5:
q² = 5r²
Jetzt kommt die gleiche Argumentation wie zuvor:
Ist die rechte Seite durch 5 teilbar, muss es auch die linke sein,
und wegen des Quadrates sogar zwei Mal...
(Also auch q wäre teilbar durch 5!)
Da nun p und q einen gemeinsamen Teiler, nämlich die 5, haben,
erkennt man den Widerspruch zur (falschen) Annahme,
dass p/q schon ein teilerfremder, also gekürzter Bruch ist.
Dieser Widerspruch zeigt, dass die Annahme, √5 sei eine rationale Zahl,
falsch ist und daher das Gegenteil gelten muss.
Damit ist die Behauptung, dass √5 irrational ist, bewiesen.