Es ist natürlich schwierig eine Mathefrage zu beantworten, wenn einige Zeichen fehlen. Aber wenn beide Seiten der Gleichung den gleichen Nenner haben und Du mit dem Nenner multipliziert, bleiben die Zähler übrig. Falls Deine Gleichung



[(x-1)^2] / [(x+1)^2(x-1)]=[(x+1)^2 - 2(x+1)] / [(x+1)^2(x-1)]



lautete bleibt nach der Multiplikation mit (x+1)^2(x-1)



(x-1)^2=(x+1)^2-2(x+1)



stehen. Computeralgebraprogramme versuchen jedoch immer weiter zu vereinfachen. Für die rechte Seite könnte dies sein:



(x+1)²-2(x+1)= x²+2x+1-2x-2=x²-1



Eine weitere Fehlerquelle könnte die Implementierung des ^-Operators sein. In der Mathe gilt Hoch vor Punkt, also a hoch 2 b = a^(2 b). In Computeralgebraprogrammen, habe ich die Erfahrung gemacht dass ^ nur auf das nächste Symbol wirkt. also a^2 b = b a^2. Ich mache daher immer sicherheitshalber zusätzliche Klammern. Eigentlich sollte die unterschiedliche Funktion des ^-Operators keine Rolle spielen, aber wer weis, was da noch in dem Programm innen abläuft und in welcher Reihenfolge die Ausdrücke ausgewertet werden

In der Gleichung

( x-1 )² /( ( x+1 )² ( x-1 ) ) = ( ( x+1 )² - 2 ( x+1 ) )/( ( x+1 )² ( x-1 ) )

ergibt sich für x = +1 und für x = -1 der Nenner 0. Oft wird so eine Gleichung nur auf R \ { +1, -1 } definiert.



Mit dem Nenner multipliziert ergibt sich die Gleichung

( x-1 )² = ( x+1 )² - 2 ( x+1 )

Zusätzlich muss beachtet werden, dass auch die umgeformte Gleichung nur auf R \ { +1, -1 } gültig ist. (Dieser Information fehlt vermutlich in derive. Wird eine Gleichung mit 0 multipliziert, dann geht die Information in der Gleichung verloren, weil jede Zahl mal 0 gleich 0 ist.)



Weiter umformen:

( x-1 )² = ( x+1 )² - 2 ( x+1 )

x² -2x +1 = x² +2x +1 - 2x -2

-2x =-2

x = +1

x = +1 ist eine Lösung für die Gleichung nach der Multiplikation mit dem Nenner. x = +1 ist keine Lösung für die "richtige" Gleichung, weil x = +1 eine Nullstelle des Nenners ist.



Die Gleichung hat keine Lösung in R \ { +1, -1 }.



Der Definitionsbereich der Gleichung kann vergrößert werden:



Auf der linken Seite der Gleichung ist x = +1 eine Nullstelle des Zählers und eine Nullstelle des Nenners. Also kann der Bruch

( x-1 )² /( ( x+1 )² ( x-1 ) ) = ( x-1 ) / ( x+1 )²

umgeschrieben werden in einen Bruch, der für x = +1 definiert ist. Die Stelle x = +1 ist für den ersten Bruch eine hebbare Polstelle. Das heben der Polstelle liefert den zweiten Bruch.



Auf der rechten Seite der Gleichung ist x = +1 ebenfalls eine hebbare Polstelle

( ( x+1 )² - 2 ( x+1 ) )/( ( x+1 )² ( x-1 ) )

= ( x² +2x +1 - 2x -2 )/( ( x+1 )² ( x-1 ) )

= ( x² -1 )/( ( x+1 )² ( x-1 ) )

= ( x -1 )( x +1 )/( ( x+1 )² ( x-1 ) )

= ( x +1 ) / ( x+1 )²

Dieser Bruch ist für x = +1 definiert.



Nach dem stetigen Ergänzen ist die Gleichung

( x-1 ) / ( x+1 )² = ( x +1 ) / ( x+1 )²

für x Element von R \ { -1 } zu lösen.

Multiplikation mit ( x+1 )² für x ungleich -1 liefert

x -1 = x +1

eine nicht lösbare Gleichung.



Die Gleichung hat auch nach dem Heben der Polstelle keine Lösung.

Nun lass mich raten!

Wolltest Du schreiben:

(x - 1)² / [(x + 1)²(x - 1)] = [(x + 1)² - 2(x + 1)]/ [(x +1)²(x - 1)]

???



Das würde bedeuten, dass die Gleichung NICHT lösbar ist.



Denn da der Nenner die Faktoren (x + 1) und (x - 1) enthält, muss man

x = 1 und x = -1

von vornherein ausschließen, da die Terme dafür nicht definiert sind (Division durch Null!!!)



Zwei Brüche mit gleichem Nenner sind genau dann gleich, wenn die Zähler gleich sind.

Hier also:

(x - 1)² = (x + 1)² - 2(x + 1)

<=>

x² - 2x + 1 = x² + 2x + 1 - 2x - 2 | - x², + 2x, - 1

<=>

0 = 2x - 2 | : 2

<=>

x = 1



Dieser Wert liegt aber nicht im Definitionsbereich der Terme.

die gleichung ist nicht lösbar.. xD



mfg johanna