Frage:
Funktionswert ohne TR berechnen?
anonymous
2012-11-09 13:42:58 UTC
Hallo, wie kann man den Funktionswert ohne Taschenrechner nur mit hilfe einer Skizze (Einheitskreis) herausfinden?
Also z.b. sin 17°, wie finde ich da den Funktionswert mit einer Skizze heraus ? falls das möglich ist
Drei antworten:
Wurzelgnom
2012-11-10 07:46:37 UTC
Zeichne einen Einheitskreis, also einen Kreis mit dem Radius r = 1

(Das kann 1 dm sein und ich würde das auf Millimeterpapier zeichnen)

Im rechtwinkligen Dreieck gilt nun:

sin a = Gegenkathete / Hypotenuse.

Wennn Du beim Einheitskreis im Koordinatenursprung den Winkel z.B. 17° abträgst, dann schneidet die Linie den Einheitskreis in einem Punkt P(x | y)

Den Lotfußpunkt von P auf die x-Achse kannst Du P' nennen.

Dann ist das Dreieck OP'P ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse [OP] = r = 1

Also ist die Senkrechte [PP'] die Gegenkathete und in diesem Fall direkt der Sinus des Winkels.



Das Schöne hierbei ist, dass das jetzt auch für Winkel funktioniert, die größer sind als 90°, wo das mit dem rechtwinkligen Dreieck eigentlich nicht mehr funktionieert.



Also: Winkel abtragen, Schenkel bis zur Kreislinie verlängern und den y_Wert des Schnittpunktes P ablesen.

DAS ist dann immer der Sinus-Wert.
?
2012-11-09 22:28:24 UTC
ja, das ist möglich:



http://www.briegel-online.de/mathe/m10/sinuscosinus.gif
Robert
2012-11-09 22:32:10 UTC
Zur Vereinfachung zeichnest du einen Kreis bzw. Kreisbogen mit einem Radius von 10 cm.



Einfach ein gleichschenkliges Dreieck.



Seite c und b jeweils 1 dm

Winkel alpha 17°



Die Höhe auf der Seite c (in dm) ist hier Sinus-Wert.



sin alpha = (Strecke CD) / (Strecke AC)



Die Definition von Sinus ist Gegenkathete dividiert durch Hyperthenuse.



Schaue dir dazu noch einmal den Einheitskreis und die Berechnung der Winkelfunktionen an.



###



Möchtest du aber mathematisch die Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte ermitteln funktioniert dies mit ganzzahligen Werten nur, wenn der Wert durch drei teilbar ist.



gleichseitiges Dreieck jeweils 60 Grad Winkel

rechtwinkliges gleichschenkliges Dreieck 90, 45 und 45 Grad



gleichseitiges Fünfeck, Teildreieck Seite und zwei Diagonalen ergeben ein gleichschenkliges Dreieck mit den Winkeln 36, 72 und 72 Grad (siehe Quelle)



Mit den Additionstheoremen (siehe auch Quelle) lassen sich die Werte mit Addition und Subtraktion entsprechender Sinus-/Kosinus-Werte ermitteln.


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Dieser Inhalt wurde ursprünglich auf Y! Answers veröffentlicht, einer Q&A-Website, die 2021 eingestellt wurde.
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