Mal eine Bemerkung vorab:
Unter der Sinusfunktion wird zumindest in der Mathematik eine Funktion, die Winkel im Bogenmaß auf reelle Zahlen abbildet, verstanden.
Will man die Werte für Winkel in Grad ermitteln, dann ist die Verkettung mit der Bogenmaßfunktion arc(x)=x*pi/180 erforderlich.
Soll also SIN(x) den Sinus eines im Gradmaß angegebenen Winkels x sein, dann ist
SIN(x) := sin( arc(x) )
Nach dieser Vorrede: a = sin ( pi/18)
Und wie hsc schon gezeigt hat folgt aus den Umformungen von a aus der Fragestellung, dass a die Gleichung
16*x^4 -8x³ -12x² + 8x - 1 = 0
lösen muß.
Dieser Gleichung sieht man die Lösung x=1/2 sofort an.
Somit muss a
(x -0,5)(8x³ - 6x +1)=0 lösen.
Die Lösungen von 8x³ - 6x +1 = 0 erhält man leicht mit der Formel von Cardano zu:
x= cos t oder x= cos 2t oder x= cos 4t mit t=2pi/9 .
wegen a=sin (pi/18) = cos ( (pi/18)-(pi/2) ) = cos 2pi/9 = cos t
folgt, dass a tatsächlich eine Lösung der Gleichung 4ten Grades ist.
Die anderen 3 Lösungen der quartischen Gleichung sind natürlich ungleich a. Daher ergibt sich auch kein Fehler.