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Eine BITTE an TOBBY :
Deine Aufgabe wird offensichtlich sehr unterschiedlich interpretiert. Einige setzen bei Spieler 2 eine Summenbildung an. Ich kann in der Aufgabenstellung aber keinen Hinweis auf eine Augensumme erkennen und habe die Aufgabe ähnlich wie beim Brettspiel RISIKO aufgefasst.
Könntest Du ergänzen, was Du mit Ergebnis für den 2. Spieler gemeint hast?
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Die Wahrscheinlichkeit für den ersten Spieler zu gewinnen beträgt
55 / 216 ~= 25,46 %
wenn man unter dem Ergebnis für Spieler 1 die Augenzahl und unter Ergebnis für Spieler 2 die höchste Augenzahl (das Maximum) seiner zwei geworfenen Zahlen versteht.
Herleitung:
Sei X das Ergebnis von Spieler 1 und Y bzw Z das Ergebnis des ersten bzw. zweiten Würfels von Spieler 2.
Mit M bezeichne ich dann das Maximum von Y und Z
M:= max(Y;Z)
dann gilt:
Die Anzahl der möglichen Würfe von Spieler 2 ist 36
(6 Möglichkeiten für den 1. Würfel mal 6 Möglichkeiten für den 2. Würfel)
Die Anzahl der möglichen Würfe von Spieler 2 bei denen M=k ist für ein k aus {1;...;6} berechnen sich so :
Der 1. Würfel kann k zeigen und der 2. Würfel eine der Zahlen 1;..;k-1
umgekehrt könnte der 2. Würfel k zeigen und der 1. Würfel eine der Zahlen 1;..;k-1
Schließlich können noch beide k zeigen
Das sind zusammen 2(k-1)+1 = 2k-1 viele Möglichkeiten
Wenn nun der Spieler 1 die Zahl n wirf, dann hat er gewonnen, wenn das Max der Augenzahlen von Spieler 2 kleiner ist. Also M
Dafür gibt es (2*1-1) + (2*2-1)+ . . + (2(n-1)-1) viele Möglichkeiten.
Da diese Zahlen die summiert werden genau die ungeraden Zahlen von 1 bis 2(n-1)-1 sind, ergibt ihre Summe (n-1)²
Damit ist die Wahrscheinlichkeit für Spieler 2 ein Maximum kleiner als n zu erhalten
P(M
Die Wahrscheinlichkeit für Spieler 1 zu gewinnen erhält man nun durch die Summe aller P(X=n)*P(M
Dabei ist P(X=n) = 1/6 für alle n=1,..,6
Die Summe lautet ausgeschrieben:
P( 'Spieler 1 gewinnt' )
= P(X=1)*P(M<1) + P(X=2)*P(M<2) + .. + P(X=6)*P(M<6)
= (1 / 6) * ( 1 / 36 ) * Summe [n=1 bis 6] (n-1)²
=(1 / 216) * ( 0 + 1 + 4 + 9 + 16 + 25 )
= 55 / 216.